Música do Seno, Cosseno e Tangente

Para quem não consegue decorar os valores do seno, cosseno e tangente, ai vai uma ajudinha...

A Matemática do Amor

A História do PI

Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com razões. Descobriram logo que a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência, e o seu valor é um número "um pouquinho maior que 3".

É essa razão que hoje chamamos pi.

Considerando c o comprimento de uma circunferência e d o diâmetro, temos:

c/d = pi

c = pi . d

O cálculo do valor exato de pi ocupou os matemáticos por muitos séculos.

Para chegar ao valor de pi expresso por 3 1/6, que é aproximadamente 3,16, os egípcios há 3 500 anos partiram de um quadrado inscrito em uma circunferência, cujo lado media 9 unidades. Dobraram os lados do quadrado para obter um polígono de 8 lados e calcularam a razão entre os perímetros dos octógonos inscrito e circunscrito e o diâmetro da circunferência.

Os egípcios conseguiram uma aproximação melhor que a dos babilônios, para os quais "o comprimento de qualquer circunferência era o triplo de seu diâmetro", o que indicava o valor 3 para pi.

Por volta do século III a.C., Arquimedes - o mais famoso matemático da Antiguidade, que viveu e morreu em Siracusa, na Grécia - também procurou calcular a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro.

Começando com um hexágono regular, Arquimedes calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados.

Calculando o perímetro desse polígono de 96 lados, conseguiu para pi um valor entre 3 10/71 e 3 10/70. Ou seja, para Arquimedes pi era um número entre 3,1408 e 3,1428.

Com um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu, que viveu em Alexandria, no Egito, por volta do século III d.C., conseguiu calcular o valor de pi como sendo 377/120, que é aproximadamente igual a 3,1416, uma aproximação ainda melhor que a de Arquimedes.

O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d.C., Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3 072 lados.

Mas no fim do século V, o matemático Tsu Ch'ung-chih foi mais longe ainda: encontrou como valor de pi um número entre 3,1415926 e 3,1415927.

Nesta época, o grande matemático hindu Aryabhata deixou registrada esta afirmação num pequeno livro escrito em versos:

"Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62 000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20 000".

Se você recordar que o comprimento de uma circunferência é dado por c = pi . d, fica fácil entender que a solução da equação de Aryabhata:

(4 + 100) . 8 + 62 000 = pi . 20 000

104 . 8 + 62 000 = pi . 20 000

832 + 62 000 = pi . 20 000

62 832 = pi . 20 000

62 832/20 000 = pi

indica como valor de pi 3,1416.

62 832/ 20 000= 3,1416

Quanto maior o número de casas decimais, melhor é a aproximação que se obtém para pi.

Até o século XV, o melhor valor para pi havia sido encontrado pelo matemático árabe al-Kashi: 3,1415926534897932.

Mas o cálculo mais impressionante foi efetuado pelo matemático holândes Ludolph van Ceulen (1540-1610) no final do século XVI.

Começando com um polígono de 15 lados e dobrando o número de lados 37 vezes, Ceulen obteve um valor para pi com 20 casas decimais.

Logo em seguida, usando um número de lados ainda maior, ele conseguiu uma aproximação com 35 casas decimais!

Tamanha deve ter sido a emoção de Van Ceulen que, na sua morte, sua esposa mandou gravar no túmulo o valor de pi com as 35 casas decimais.

Imagine como ele se sentiria se soubesse que no século XX computadores calculariam, em segundos, o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhões de casas decimais!

Pi = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706

79821480865132823066470938446095505822317253594081128481117450284102701938521105559644622948954930381964

428810975665933446128475682337867831652712019091456485669234603486104543266482...

Muitos dos símbolos matemáticos que usamos atualmente devemos ao matemático suíço Leonhard Euller (1707-1783).

Foi Euller quem, em 1737, tornou conhecido o símbolo para o número pi. Foi também nesta época que os matemáticos conseguiram demonstrar que é um número irracional.

Oração Matemática

Poucos profissionais têm realmente a habilidade de ensinar Matemática.

A esses heróis, dedico esta "oração matemática".
Mestre matemático que estais na sala,
Santificada seja a Vossa prova,
Seja de Álgebra ou de Geometria,
O zero de cada dia não nos dai hoje,
Perdoai as nossas bagunças,
Assim como perdoamos os Vossos Teoremas,
Não nos deixeis cair em recuperação,
Mas nos livrai da reprovação,
Amém.

Sólidos para Montar

Leitura de Gráficos – Aprenda a ler dois Gráficos que caem no Enem

Os Gráficos em Linha e os Gráficos de Barras apresentam dados de forma simples e de rápida compreensão. E sempre aparecem nas provas de matemática, biologia, física e geografia dos vestibulares e do Enem. Saber ler um gráfico e interpretar as informações é essencial para você tirar uma boa nota.  Veja abaixo tudo sobre Leitura de Gráficos e resolva exercícios Khan Academy para ficar fera!


1. A) Gráficos em linhas
O objetivo dos Gráficos em Linhas é apresentar a evolução de um fenômeno ao longo do tempo. Possui um eixo vertical, com valores e um eixo horizontal com a evolução do tempo.Exemplo 1 (ENEM 2012)

O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que representa a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram

1. Março e Abril
2. Março e Agosto
3. Agosto e Setembro
4. Junho e Setembro
5. Junho e Agosto

Resolução

Como o eixo vertical descreve as vendas, devemos verificar o ponto mais alto, ou seja, Junho e o ponto mais baixo, ou seja, Agosto. Alternativa E.

1. B) Gráfico de Barras

Os Gráficos de Barras são muito utilizados para comparar quantidades. Os dados estão na posição horizontal enquanto que as informações ou divisões estão na vertical.

Exemplo 2 (ENEM 2012)

Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.

O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.

Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por

A) 0,09.
B) 0,12.
C) 0,14.
D) 0,15.
E) 0,18.
Resolução

Vemos que nesta questão foram cobrados, além da habilidade em leitura de gráfico, também o de cálculo de probabilidades. Como o sorteio foi entre os que opinaram, vemos que o 21% não opinou, sobrando então 79% de opinantes.

Número total de opinantes = 0,79 x 500 =395

Número de opinantes que votou “chato” = 0,12×500 = 60

Assim sendo, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso dentre as que opinaram, ter assinalado “chato” será:

Leitura de Gráficos

Alternativa D

Desafios

1) (ENEM 2012) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007.

Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.

Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em

A) 1995.
B) 1998.
C) 2000.
D) 2005.
E) 2007.

2) Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global.

Leitura de Gráficos

Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete?

A) Menos de 23.
B) Mais de 23 e menos de 25.
C) Mais de 50 e menos de 75.
D) Mais de 100 e menos de 190.
E) Mais de 200.
Gabarito

1) E; 2) C